あなたが高頻度取引アルゴリズムを操縦していると想像してください。ポートフォリオには厳格なリスク制限があります。『ハード』な制約は、制限に触れると一瞬ですべてを停止させる緊急ブレーキのようなものです。これはシステムの論理を崩壊させる可能性があります。凸最適化では、『ソフト』な警告システムを好むのが一般的です。指標関数のギザギザした二値的な崖を、境界に近づくほど目的関数にますます大きなペナルティを与える滑らかな対数型『バリア』で置き換えます。これにより、最適化アルゴリズムは制約が迫っていることを「感じ」取り、一度も境界外に出ることなく滑らかに軌道を調整できます。
微分不可能性の問題
標準的な制約付き最適化問題は次のように定義されます：
$$\text{最小化 } f_0(x) \\ \text{制約条件 } f_i(x) \leq 0, \quad i = 1, \ldots, m \\ Ax = b$$
理論的には、指標関数 $I_-(u)$ を使って制約を目的関数に組み込むことでこの問題を書き直せます。しかし、$I_-(u)$ は微積分にとって怪物のような存在です：
$$I_-(u) = \begin{cases} 0 & u \leq 0 \\ \infty & u > 0 \end{cases}$$
境界で不連続であり、無限大の勾配を持つため、 ニュートン法が必要となるため、私たちは微分可能な代替関数（サロゲート）が必要です。
対数平滑化
代替関数
我々は次の関数を使って $I_-(u)$ を近似します：
$$\hat{I}_-(u) = -(1/t) \log(-u), \quad \text{dom } \hat{I}_- = -\mathbf{R}_{++}$$
ここで、$t > 0$ は近似の精度を決定するパラメータです。$t$ が大きくなるほど、バリア関数は真の指標関数に近づきます。
内部性制約
アクティブセット法とは異なり、このアプローチは各反復点 $x$ が 厳密に妥当（厳密に実行可能） ($f_i(x) < 0$) である必要があります。対数関数は非負の値に対して未定義であるため、探索を許容領域の内部に閉じ込め、侵入できない壁を形成します。
🎯 定義：内点法
内点法：不等式制約を含む凸最適化問題を、等式制約問題の系列にニュートン法を適用することで解く手法。